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# Nombre complexe
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_Read this in other languages:_
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[english](README.md).
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Un **nombre complexe** est un nombre qui peut s'écrire sous la forme
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`a + b * i`, tels que `a` et `b` sont des nombres réels,
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et `i` est la solution de l'équation `x^2 = −1`.
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Du fait qu'aucun _nombre réel_ ne statisfait l'équation,
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`i` est appellé _nombre imaginaire_. Étant donné le nombre complexe `a + b * i`,
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`a` est appellé _partie réelle_, et `b`, _partie imaginaire_.
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Un nombre complexe est donc la combinaison
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d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire :
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En géométrie, les nombres complexes étendent le concept
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de ligne de nombres sur une dimension à un _plan complexe à deux dimensions_
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en utilisant l'axe horizontal pour lepartie réelle
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et l'axe vertical pour la partie imaginaire. Le nombre complexe `a + b * i`
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peut être identifié avec le point `(a, b)` dans le plan complexe.
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Un nombre complexe dont la partie réelle est zéro est dit _imaginaire pur_;
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les points pour ces nombres se trouvent sur l'axe vertical du plan complexe.
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Un nombre complexe dont la partie imaginaire est zéro
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peut être considéré comme un _nombre réel_; son point
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se trouve sur l'axe horizontal du plan complexe.
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| Nombre complexe | Partie réelle | partie imaginaire | |
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| :-------------- | :-----------: | :---------------: | ---------------- |
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| 3 + 2i | 3 | 2 | |
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| 5 | 5 | **0** | Purely Real |
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| −6i | **0** | -6 | Purely Imaginary |
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A complex number can be visually represented as a pair of numbers `(a, b)` forming
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a vector on a diagram called an _Argand diagram_, representing the _complex plane_.
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`Re` is the real axis, `Im` is the imaginary axis, and `i` satisfies `i^2 = −1`.
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Un nombre complexe peut être représenté visuellement comme une paire de nombres
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`(a, b)` formant un vecteur sur un diagramme appelé _diagramme d'Argand_,
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représentant le _plan complexe_.
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_Re_ est l'axe réel, _Im_ est l'axe imaginaire et `i` satisfait `i^2 = −1`.
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> Complexe ne veut pas dire compliqué. Cela signifie simplement que
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> les deux types de nombres, réels et imaginaires, forment ensemble un complexe
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> comme on le dirait d'un complexe de bâtiments (bâtiments réunis).
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## Forme polaire
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Une manière de définir un point `P` dans le plan complexe, autre que d'utiliser
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les coordonnées x et y, consiste à utiliser la distance entre le point `O`, le point
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dont les coordonnées sont `(0, 0)` (l'origine), et l'angle sous-tendu
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entre l'axe réel positif et le segment de droite `OP` dans le sens antihoraire.
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Cette idée conduit à la forme polaire des nombres complexes.
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The _valeur absolue_ (ou module) d'un nombre complexe `z = x + yi` est:
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L'argument de `z` (parfois appelé « phase » ou « amplitude ») est l'angle
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du rayon `OP` avec l'axe des réels positifs, et s'écrit `arg(z)`. Comme
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avec le module, l'argument peut être trouvé à partir de la forme rectangulaire `x + yi`:
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Ensemble, `r` et`φ` donnent une autre façon de représenter les nombres complexes, la
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forme polaire, car la combinaison du module et de l'argument suffit à indiquer la
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position d'un point sur le plan. Obtenir les coordonnées du rectangle d'origine
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à partir de la forme polaire se fait par la formule appelée forme trigonométrique :
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En utilisant la formule d'Euler, cela peut être écrit comme suit:
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## Opérations de base
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### Addition
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Pour ajouter deux nombres complexes, nous ajoutons chaque partie séparément :
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```text
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(a + b * i) + (c + d * i) = (a + c) + (b + d) * i
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```
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**Exemple**
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```text
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(3 + 5i) + (4 − 3i) = (3 + 4) + (5 − 3)i = 7 + 2i
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```
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Dans un plan complexe, l'addition ressemblera à ceci:
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### Soustraction
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Pour soustraire deux nombres complexes, on soustrait chaque partie séparément :
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```text
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(a + b * i) - (c + d * i) = (a - c) + (b - d) * i
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```
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**Exemple**
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```text
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(3 + 5i) - (4 − 3i) = (3 - 4) + (5 + 3)i = -1 + 8i
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```
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### Multiplication
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Pour multiplier les nombres complexes, chaque partie du premier nombre complexe est multipliée
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par chaque partie du deuxième nombre complexe:
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On peut utiliser le "FOIL" (parfois traduit PEID en français), acronyme de
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**F**irsts (Premiers), **O**uters (Extérieurs), **I**nners (Intérieurs), **L**asts (Derniers)" (
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voir [Binomial Multiplication](ttps://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-multiplying.html) pour plus de détails):
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- Firsts: `a × c`
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- Outers: `a × di`
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- Inners: `bi × c`
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- Lasts: `bi × di`
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En général, cela ressemble à:
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```text
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(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
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```
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Mais il existe aussi un moyen plus rapide !
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Utiliser cette loi:
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```text
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(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
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```
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**Exemple**
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```text
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(3 + 2i)(1 + 7i)
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= 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i
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= 3 + 21i + 2i + 14i^2
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= 3 + 21i + 2i − 14 (because i^2 = −1)
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= −11 + 23i
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```
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```text
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(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i
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```
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### Conjugués
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En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z
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est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z
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mais de partie imaginaire opposée.
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Un conjugué vois son signe changer au milieu comme suit:
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Un conjugué est souvent écrit avec un trait suscrit (barre au-dessus):
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```text
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______
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5 − 3i = 5 + 3i
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```
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Dans un plan complexe, le nombre conjugué sera mirroir par rapport aux axes réels.
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### Division
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Le conjugué est utiliser pour aider à la division de nombres complexes
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L'astuce est de _multiplier le haut et le bas par le conjugué du bas_.
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**Exemple**
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```text
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2 + 3i
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------
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4 − 5i
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```
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Multiplier le haut et le bas par le conjugué de `4 − 5i`:
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```text
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(2 + 3i) * (4 + 5i) 8 + 10i + 12i + 15i^2
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= ------------------- = ----------------------
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(4 − 5i) * (4 + 5i) 16 + 20i − 20i − 25i^2
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```
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Et puisque `i^2 = −1`, il s'ensuit que:
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```text
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8 + 10i + 12i − 15 −7 + 22i −7 22
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= ------------------- = -------- = -- + -- * i
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16 + 20i − 20i + 25 41 41 41
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```
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Il existe cependant un moyen plus direct.
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Dans l'exemple précédent, ce qui s'est passé en bas était intéressant:
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```text
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(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i
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```
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Les termes du milieu `(20i − 20i)` s'annule! Et pusique `i^2 = −1` on retrouve:
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```text
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(4 − 5i)(4 + 5i) = 4^2 + 5^2
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```
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Ce qui est vraiment un résultat assez simple. La règle générale est:
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```text
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(a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2
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```
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## Références
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- [Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe)
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- [Math is Fun](https://www.mathsisfun.com/numbers/complex-numbers.html)
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