ダイクストラ法 (Dijkstra's Algorithm)

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ダイクストラ法は、グラフ内のノード間の最短経路を見つけるためのアルゴリズムです。例えば道路網などを表すことができます。

このアルゴリズムにはいくつかのバリエーションがあります。ダイクストラの元々の手法は、2つのノード間の最短経路を求めるものでしたが、より一般的なバージョンでは、1つのノードを「始点（ソース）」として固定し、その始点から他のすべてのノードまでの最短経路を求め、最短経路木（shortest-path tree）を生成します。

a から b への最短経路を見つけるダイクストラ法。訪問していないノードの中で最も距離の短いノードを選び、そのノードを経由して未訪問の隣接ノードへの距離を計算し、もし短ければその距離を更新します。すべての隣接ノードを処理したら、そのノードを訪問済み（赤色）としてマークします。

ダイクストラ法の実用例

GPS / ナビゲーションシステム
公共交通機関や航空路線の最適化
インターネットルーティング（OSPF、IS-IS プロトコル）
ネットワークトラフィックとレイテンシーの最適化
ゲームにおける経路探索（マップ上の最短経路）
物流および配送ルートの最適化
サプライチェーンや交通ネットワーク設計

ダイクストラ法のステップごとの例

重み付きグラフがあり、各辺にはノード間の距離が設定されています。たとえば、ノード A とノード B の距離が 7m であるとします。

このアルゴリズムは、優先度付きキューを使用し、常に始点から最も近い未訪問ノードを取り出します。

始点ノードは自分自身からの距離が 0m なので、最初にキューに入っているのはこのノードだけです。

他のノードは、グラフ探索中（隣接ノードを訪問する際）に後でキューに追加されます。

キューから取り出したノードの各隣接ノードについて、始点からの距離を計算します。たとえば、A から B までの距離は 0m + 7m = 7m です。

初めて訪れる隣接ノードは、始点からの距離を優先度としてキューに追加されます。

ノード B は、後で探索するために最小優先度キューに追加されます。

次に、ノード A のもう一つの隣接ノード C を訪問します。始点 A から C までの距離は 0m + 9m = 9m です。

ノード C も最小優先度キューに追加されます。

同様に、ノード F の場合、始点 A からの距離は 0m + 14m = 14m です。

ノード F も後で探索するためにキューに追加します。

現在のノードのすべての隣接ノードを確認した後、そのノードを visited セットに追加します。このノードは今後再訪しません。

次に、始点から最も近いノードをキューから取り出し、その隣接ノードを訪問します。

訪問中のノード（この場合は C）がすでにキューに存在する場合、それは別の経路（A → C）からすでに距離を計算したことを意味します。もし今回の経路（A → B → C）を通る距離が短ければ更新し、長ければそのままにします。

たとえば、B 経由で C に行くと (A → B → C)、距離は 7m + 10m = 17m です。これは既に記録されている距離 9m より長いので、更新しません。

次に、B のもう一つの隣接ノード D を訪問します。距離は 7m + 15m = 22m です。 D はまだ訪問されておらず、キューにもないため、距離 22m の優先度でキューに追加します。

この時点で B のすべての隣接ノードを訪問したので、B を visited に追加します。次に、始点に最も近いノードをキューから取り出します。

ノード C の未訪問の隣接ノードを探索します。経路 A → C → F を通る F までの距離は 9m + 2m = 11m です。これは以前の A → F の距離 14m より短いので、 F の距離を 11m に更新し、キューの優先度を変更します。これでより短い経路が見つかりました。